Collatzova domněnka

V matematice existuje známý otevřený problém: vezmeme-li libovolné kladné celé číslo n, pak je-li sudé, vydělíme ho dvěma; je-li liché, vezmeme místo toho jako další 3n+1. Budeme-li pak pokračovat s tímto číslem, existuje hypotéza, že nakonec skončíme s číslem jedna. Tuto domněnku poprvé vyslovil Lothar Collatz v roce 1937, odtud se jí nejčastěji říká Collatzova domněnka.

Formulace úlohy je tak jednoduchá, že jí může porozumět téměř kdokoli. Její zdánlivá bezelstnost přímo vybízí ke generování několika posloupností s pomocí papíru a tužky. Krátký experiment ale ukáže, že chování získaných posloupností je netriviální a chaotické. Začneme-li například s číslem 27, výsledná posloupnost vede přes číslo 9232. Tušená pravidla většinou dříve nebo později přestávají platit.

Výpočetně byla tato hypotéza ověřena pro čísla zhruba do jednoho trilionu, ale jinak zatím máme k dispozici pouze dohady. Důkaz neexistuje. Mnoho bylo řečeno o složitosti tohoto problému. Ve skutečnosti mezi matematiky panuje nálada, že na tento problém ještě nejspíš nejsme připraveni, tedy jinými slovy jeho řešení je mimo dosah současné matematiky.

Ptáte-li se mě, proč jsem se rozhodl věnovat už tři odstavce tomuto pozoruhodnému hlavolamu, je to proto, že se budu za několik měsíců věnovat tématu poněkud příbuznému. Dostal jsem příležitost zůstat toto léto na univerzitě a věnovat se výzkumnému projektu v oblasti výpočetní teorie čísel, analýzy a dynamických systémů. V něm budu studovat fraktály vznikající podobným způsobem.

Významnou součástí projektu bude jeho počítačová součást, v níž uplatním svoje zkušenosti z předmětů jako výpočetní matematika z minulého roku. Stejně tak použiji i praxi, kterou jsem v létě nabyl v Air Bank jako stážista. Doufám, že jako vedlejší produkt mých výpočtů vzniknou i esteticky přitažlivé snímky fraktálů, a proto se už nemůžu dočkat, až v půlce července začnu s prací.
    
Do té doby si budu moct pročítat přípravnou literaturu. Kromě toho budu potřebovat teorii čísel, kterou se budu učit příští trimestr.