Geometrická teorie grup

Teorie grup byla první opravdu nová věc, se kterou jsem se setkal po příchodu na univerzitu. Například matematická analýza je samozřejmě také plná nových konceptů, ale reálná čísla jsou neformálně známá všem. Na teorii grup lze dobře demonstrovat moc abstrakce. Následující sekce je podobná historické motivaci předmětu. Když se podíváme na sčítání celých čísel, násobení nenulových reálných čísel, míchání karet nebo symetrie čtverce, všimneme si, že mají několik společných vlastností. Můžeme na ně nahlížet jako množiny vybavené operací (v případě míchání karet je složením dvou různých míchání “proveď jedno, pak druhé”, podobně pro symetrie čtverce), která má neutrální prvek, který nic nedělá, pro předchozí příklady je to po řadě přičtení nuly, vynásobení jedničkou, nezměnění pozice žádné karty a nepohnutí čtvercem. Taky je možné každou změnu odčinit, po přičtení pěti můžeme přičíst minus pět. Po vynásobení dvaceti vynásobit dvacetinou. Utřídit karty a vrátit čtverec do původní pozice. V matematice bychom řekli, že – 5 je inverzní prvek pro 5 vůči sčítání.

Teď je načase provést druhý krok v abstrakci. Zahodíme příklady, které nás motivovaly. Zapomeneme na čísla, karty a čtverce. Místo toho zvolíme jako objekt zkoumání množinu, která je vybavena operací, neutrálním prvkem a inverzními prvky. Objekt, který odpovídá tomuto popisu, se nazývá grupa. Zatím se zdá, že jsme tímto spíše ztratili, protože jsme nevyužili celou řadu vlastností, které motivační příklady měly. Například celá čísla se dají i násobit nebo rozkládat na prvočinitele. Výhody se stanou zřejmými v okamžiku, kdy je třeba pracovat s větším množstvím grup najednou. Můžeme z tohoto popisu například rychle dokázat, že inverzní prvek je unikátní.

Druhou složkou geometrické teorie grup je topologie, věda o tvarech. Třídou základních otázek v topologii je: “Je možné spojitě změnit jeden z těchto tvarů na druhý?” Topolog by věděl, jak rozmotat gordický uzel. Pro algebraika je však zajímavější, že grupa je vybavena topologickou strukturou. O celých číslech můžeme uvažovat jako podmnožině reálné přímky. Pak je přirozené ztotožnit číslo pět s posunutím o pět doprava. Pro obecnou grupu existuje analogický tvar, kde prvky grupy korespondují jednak s body, jednak se symetriemi tohoto tvaru. Tedy i pro permutace karet, násobení nenulových reálných čísel a symetrie čtverce.